# GMM

計量経済学大学院講義ノート

> 原ノートとの対応
> この講義ノートは Tim Christensen, Econometrics II の Chapter 4 “GMM” をもとに、日本語の大学院向けノートとして再構成したものである。前章の M 推定に続き、ここでは GMM 推定量の漸近正規性・標準誤差・効率性・J 検定 を統一的に整理する。

ノートこの章の到達目標

この章の目的は次の 5 点である。

1. GMM 推定量の漸近正規性を \[ \sqrt{n}(\hat\theta-\theta_0)\overset{d}{\to} N\!\left(0,(G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1}\right) \] の形で理解する。
2. just identified と over identified の違い、および重み行列 \(W\) が効率性に与える影響を理解する。
3. i.i.d.、m.d.s.、一般の依存データで、\(S\) の推定法がどう変わるかを整理する。
4. 実務上重要な two-step efficient GMM、one-step correction、CU-GMM の位置づけを理解する。
5. 過剰識別制約の検定、すなわち Hansen-Sargan の \(J\) 検定 を理解する。

重要記法の確認

この章では、モーメント条件 \[ E[g(X_t;\theta_0)]=0 \] を出発点とする。標本モーメントを \[ g_n(\theta)=\frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\theta) \] と書き、GMM の目的関数を \[ Q_n(\theta)=-\frac12 g_n(\theta)'\widehat W_n g_n(\theta) \] とする。

さらに、\(\theta\) に関する導関数として \[ d(X_t;\theta)=\frac{\partial g(X_t;\theta)}{\partial\theta'}, \qquad G_n(\theta)=\frac1n\sum_{t=1}^n d(X_t;\theta), \qquad G=E[d(X_t;\theta_0)] \] を用いる。ここで

- \(g(X_t;\theta)\in\mathbb R^K\)
- \(\theta\in\mathbb R^p\)
- \(d(X_t;\theta),G_n(\theta),G\in\mathbb R^{K\times p}\)

である。通常、識別のためには \(K\ge p\) が必要である。

# 1 導入

GMM（generalized method of moments）は、モデルが与えるモーメント条件 \[ E[g(X_t;\theta_0)]=0 \] を使って \(\theta_0\) を推定する方法である。M 推定と比べると、尤度全体を使うのではなく、モデルから得られる特定のモーメント条件だけを使うので、しばしば limited information 推定と呼ばれる。

GMM の基本的な考え方は次の通りである。

1. もし \(\theta=\theta_0\) なら、標本モーメント \(g_n(\theta)\) は 0 に近いはずである。
2. したがって、\(g_n(\theta)\) の大きさを測る二次形式 \[ g_n(\theta)'\widehat W_n g_n(\theta) \] を小さくする \(\theta\) を選べばよい。
3. その「大きさ」の測り方を決めるのが重み行列 \(\widehat W_n\) であり、これが効率性を左右する。

ヒント直観

GMM の推定誤差は、M 推定と同じく

- モーメントの標本誤差
- 目的関数の局所曲率

の 2 つの要素から決まる。ただし GMM では、score の代わりに標本モーメント \(g_n(\theta_0)\) がノイズの源になり、曲率は \(G'WG\) という形で現れる。

# 2 漸近正規性の詳細

## 2.1 基本定理

まず、\(g(X_t;\theta)\) が \(\theta\) に関して滑らかな場合の標準的な漸近理論を述べる。

定理 1 (GMM 推定量の漸近正規性) \(\hat\theta\) が \[ \frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta}=o_p(n^{-1/2}) \tag{1}\] を満たすとする。さらに次を仮定する。

1. \(X_1,\ldots,X_n\) は厳密定常かつエルゴード的である。
2. \(\hat\theta\overset{p}{\to}\theta_0\).
3. \(\widehat W_n\overset{p}{\to} W\)，ただし \(W\) は正定値対称行列である。
4. \(\theta_0\) は \(\Theta\) の内部点である。
5. 任意の \(X_t\) に対して \(g(X_t;\theta)\) は \(\theta\) について連続微分可能である。
6. \[ \sqrt n\,g_n(\theta_0)\overset{d}{\to} N(0,S), \] ただし \(S\) は正定値である。
7. \(\theta_0\) のある凸・コンパクト近傍 \(N\) が存在して \[ E\!\left[\sup_{\theta\in N}\|d(X_t;\theta)\|\right]<\infty. \]
8. \(G=E[d(X_t;\theta_0)]\) は full column rank \(p\) をもつ。

このとき \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0) \overset{d}{\to} N\!\left(0, (G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1} \right). \]

証明. 近似的一階条件 式 1 を用いると \[ \frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta} = -G_n(\hat\theta)'\widehat W_n g_n(\hat\theta) =o_p(n^{-1/2}) \] である。ここで \(g_n(\hat\theta)\) を \(\theta_0\) のまわりで平均値展開すると、ある \(\tilde\theta\) を用いて \[ g_n(\hat\theta)=g_n(\theta_0)+G_n(\tilde\theta)(\hat\theta-\theta_0) \] だから、 \[ o_p(1) = \bigl(G_n(\hat\theta)'\widehat W_n G_n(\tilde\theta)\bigr)\sqrt n(\hat\theta-\theta_0) + G_n(\hat\theta)'\widehat W_n \sqrt n\,g_n(\theta_0) \] を得る。

一様大数法則と一致性により \[ G_n(\hat\theta)\overset{p}{\to} G, \qquad G_n(\tilde\theta)\overset{p}{\to} G \] が成り立つので、 \[ G_n(\hat\theta)'\widehat W_n G_n(\tilde\theta)\overset{p}{\to} G'WG \] である。したがって \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0) = -(G'WG)^{-1}G'W\sqrt n\,g_n(\theta_0)+o_p(1), \] となり、最後は連続写像定理と Slutsky の定理で従う。

## 2.2 漸近分散の分解

上の定理では \[ H=G'WG, \qquad \Sigma=G'WSWG \] と書けば、 \[ \Omega=H^{-1}\Sigma H^{-1} \] という、前章までと全く同じ 曲率とノイズの分解 になる。

- \(G\) はモーメント条件がパラメータにどれだけ敏感かを表す。
- \(W\) は研究者が選ぶ重みである。
- \(S\) は標本モーメント \(\sqrt n\,g_n(\theta_0)\) の漸近分散である。

この形を見ると、GMM の推定精度は

1. モーメントの情報量（\(G\)）
2. モーメントのノイズ（\(S\)）
3. ノイズをどう重みづけるか（\(W\)）

の 3 つに依存することが分かる。

## 2.3 just identified と over identified

### 2.3.1 just identified の場合

\(K=p\) で \(G\) が可逆なら、 \[ (G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1}=G^{-1}SG^{-1'} \] となり、重み行列 \(W\) は打ち消し合う。したがって just identified モデルでは \(W\) の選び方は漸近分散に影響しない。

### 2.3.2 over identified の場合

\(K>p\) では \(G\) は正方行列でないため、この打ち消しは起きない。したがって over identified モデルでは \(W\) の選び方が効率性を左右する。

重要重要な含意

over identified GMM では、同じモーメント条件でも重み行列の選び方が悪いと標準誤差が大きくなり、信頼区間も広くなる。GMM の実務では「モーメント条件をどう作るか」だけでなく、「どの重みで評価するか」も本質的である。

## 2.4 最適重み付けと効率性

効率的な重みは \[ W=S^{-1} \] である。このとき漸近分散は \[ \Omega_{\mathrm{eff}}=(G'S^{-1}G)^{-1} \] に簡約される。

なぜこれが最適かというと、任意の正定値行列 \(W\) に対して \[ (G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1} \succeq (G'S^{-1}G)^{-1} \] が成り立つからである。ここで \(\succeq\) は半正定値行列の意味での大小である。

この不等式は、GMM における効率性の中心結果であり、実務的には two-step efficient GMM の理論的根拠になる。

### 2.4.1 two-step efficient GMM

実装は通常 2 段階で行う。

1. まず \(\widehat W_n=I_K\) など単純な重みで一段階推定量 \(\tilde\theta\) を得る。
2. 次に \(\tilde\theta\) を使って \(S\) を推定し、その逆行列を重みとしてもう一度 GMM を解く。

こうして得られる二段階推定量 \(\hat\theta\) は、適当な条件の下で効率的漸近分散 \[ (G'S^{-1}G)^{-1} \] をもつ。

# 3 標準誤差の推定

## 3.1 基本的な plug-in 推定

一般形の漸近分散 \[ \Omega=(G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1} \] を推定するには、\(G\) と \(S\) をそれぞれ推定すればよい。

\(G\) の自然な推定量は \[ \widehat G=\frac1n\sum_{t=1}^n d(X_t;\hat\theta) \] である。したがって、一般形の sandwich 推定量は \[ \widehat\Omega = (\widehat G'\widehat W_n\widehat G)^{-1} \widehat G'\widehat W_n\widehat S \widehat W_n\widehat G (\widehat G'\widehat W_n\widehat G)^{-1} \tag{2}\] である。

## 3.2 i.i.d. または m.d.s. の場合

データが i.i.d. か、あるいは \((g(X_t;\theta_0),\mathcal F_t)\) が m.d.s. であれば、 \[ S=E[g(X_t;\theta_0)g(X_t;\theta_0)'] \] である。したがって \[ \widehat S = \frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\hat\theta)g(X_t;\hat\theta)' \] あるいは \[ \widehat S = \frac1n\sum_{t=1}^n \bigl(g(X_t;\hat\theta)-g_n(\hat\theta)\bigr) \bigl(g(X_t;\hat\theta)-g_n(\hat\theta)\bigr)' \] を用いればよい。

一致性が成り立てば、式 2 は \(\Omega\) の一貫推定量になる。

## 3.3 依存データと HAC 推定

一般の依存データでは、\(S\) は長期分散 \[ S=\sum_{j=-\infty}^{\infty} C_j, \qquad C_j=E[g(X_t;\theta_0)g(X_{t-j};\theta_0)'] \] である。したがって単純な標本分散では不十分であり、Newey-West 型の HAC 推定量を使う。

代表的には \[ \widehat S = \widehat C_0+\sum_{j=1}^{J_n}\left(1-\frac{j}{J_n+1}\right) (\widehat C_j+\widehat C_j') \] であり、 \[ \widehat C_j = \frac1n\sum_{t=j+1}^n g(X_t;\hat\theta)g(X_{t-j};\hat\theta)'. \] ここで \(J_n\) はバンド幅であり、理論上は \(J_n\to\infty\) かつ \(J_n/n\to 0\) が必要である。

ノート実務上の注意

HAC 標準誤差はバンド幅 \(J_n\) に敏感である。四半期データなら 8、12、16 ラグなどがよく使われるが、推論結果がどの程度ロバストかを確認するのが望ましい。

## 3.4 効率的 GMM の標準誤差

もし \(\widehat W_n=\widehat S^{-1}\) を使っていれば、漸近分散は \[ \Omega_{\mathrm{eff}}=(G'S^{-1}G)^{-1} \] だから、推定量は簡約されて \[ \widehat\Omega_{\mathrm{eff}} = (\widehat G'\widehat S^{-1}\widehat G)^{-1} \] となる。実務ではこの形が最もよく使われる。

# 4 one-step correction

二段階 GMM の第 2 段階を毎回完全に最適化するのが計算上重い場合、one-step correction が有用である。

\(\tilde\theta\) を \(\sqrt n\)-一致な初期推定量とし、\(\widehat W_n\) を効率的重みとする。このとき Newton-Raphson を 1 回だけ適用して \[ \hat\theta_{\mathrm{1step}} = \tilde\theta - (\widetilde G'\widehat W_n\widetilde G)^{-1} \widetilde G'\widehat W_n \left(\frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\tilde\theta)\right), \] ただし \[ \widetilde G=G_n(\tilde\theta) \] と定める。

すると適当な条件の下で \[ \sqrt n(\hat\theta_{\mathrm{1step}}-\theta_0) \overset{d}{\to} N\!\left(0,(G'S^{-1}G)^{-1}\right) \] が成り立つ。つまり、一回の Newton ステップだけで漸近的には効率的 になる。

ヒントいつ有利か

- 目的関数の完全最適化が重い
- しかし勾配やヤコビアンは比較的計算しやすい

というとき、one-step correction は有力である。逆に、勾配の計算が難しいモデルでは、ふつうの二段階最適化の方が扱いやすいこともある。

# 5 過剰識別制約の検定

over identified モデルでは \(K-p\) 個の余剰モーメント条件があり、それらを使ってモデルの適合度を検定できる。

## 5.1 \(J\) 統計量

帰無仮説は \[ H_0:\quad E[g(X_t;\theta_0)]=0 \text{ を満たす }\theta_0\in\Theta \text{ が存在する} \] である。検定統計量は \[ J=-2nQ_n(\hat\theta) = n\,g_n(\hat\theta)'\widehat W_n g_n(\hat\theta) \tag{3}\] である。

定理 2 (Hansen-Sargan の \(J\) 検定) 定理 1 の仮定に加え、さらに \[ \widehat W_n\overset{p}{\to} S^{-1} \] を仮定する。このとき、帰無仮説の下で \[ J\overset{d}{\to}\chi^2_{K-p} \] が成り立つ。

証明. 平均値展開により \[ \sqrt n\,g_n(\hat\theta) = \sqrt n\,g_n(\theta_0)+G\sqrt n(\hat\theta-\theta_0)+o_p(1) \] である。さらに効率的 GMM の線形表示 \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0) = -(G'S^{-1}G)^{-1}G'S^{-1}\sqrt n\,g_n(\theta_0)+o_p(1) \] を代入すると、\(J\) は \[ Z'PZ+o_p(1) \] という形になる。ここで \(Z\sim N(0,I_K)\)、\(P\) は rank \(K-p\) の直交射影行列である。したがって極限分布は \(\chi^2_{K-p}\) になる。

この検定は

- test of over-identifying restrictions
- Hansen-Sargan test
- J test

などと呼ばれる。

重要何が分かり、何は分からないか

\(J\) 検定で棄却されると、「少なくともいくつかのモーメント条件が誤指定されている」ことは分かる。しかし、どのモーメント条件が悪いのかまでは教えてくれない。したがって、棄却後はモーメント条件の個別診断が必要である。

# 6 Continuously-updated GMM

## 6.1 定義

効率的 GMM を 2 段階で実装する代わりに、重み行列自体を \(\theta\) の関数にして 1 回の最適化で済ませる方法が continuously-updated GMM（CU-GMM） である。目的関数は \[ Q_n(\theta)=-\frac12 g_n(\theta)'\widehat W_n(\theta)g_n(\theta) \] である。

典型的には \[ \widehat W_n(\theta) = \left( \frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\theta)g(X_t;\theta)' \right)^{-1} \] あるいは \[ \widehat W_n(\theta) = \left( \frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\theta)g(X_t;\theta)' -g_n(\theta)g_n(\theta)' \right)^{-1} \] のようにとる。

依存データでは、ここでも Newey-West 型の長期分散推定量の逆行列を使える。

## 6.2 CU-GMM の意味

CU-GMM は形式上は GMM だが、より広くは generalized empirical likelihood の一部として理解できる。理論的には、高次のバイアス項が小さくなるなど、通常の二段階 GMM より望ましい有限標本特性をもつことがある。

一方で、重み行列も同時に最適化対象になるため、数値計算は重くなりやすい。したがって、

- 二段階 GMM
- one-step correction
- CU-GMM

のどれが最も実用的かは、モデルの複雑さと数値最適化の難しさによって決まる。

# 7 まとめ

この章の要点は次の通りである。

1. GMM 推定量の漸近分散は \[ (G'WG)^{-1}G'WSWG(G'WG)^{-1} \] で与えられる。
2. just identified モデルでは重み行列は漸近分散に影響しないが、over identified モデルでは影響する。
3. 効率的重みは \(W=S^{-1}\) であり、そのとき漸近分散は \[ (G'S^{-1}G)^{-1} \] に簡約される。
4. 標準誤差の推定では、i.i.d./m.d.s. なら標本共分散、依存データなら HAC 推定を使う。
5. over identified モデルでは \(J\) 検定により過剰識別制約を検定できる。
6. 効率的推定の実装法として、二段階 GMM、one-step correction、CU-GMM がある。

ノート次章への接続

次の SMM 章では、GMM のモーメント条件 \[ g_n(\theta)=\frac1n\sum_{t=1}^n g(X_t;\theta) \] のうち、モデル側のモーメントが閉形式で書けない場合を扱う。GMM の骨格はそのまま残るが、シミュレーション誤差 が新たなノイズ源として加わる。