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title: "Minimum Distance"
subtitle: "計量経済学大学院講義ノート"
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::: {.callout-note}
## この章の到達目標

この章の目的は次の 4 点である。

1. Minimum Distance（MD）推定量を、縮約形統計量 $g_n$ と構造モデルの対応物 $\gamma(\theta)$ を結びつける推定法として理解する。
2. MD 推定量の漸近分布
   $$
   \sqrt{n}(\hat\theta-\theta_0)
   \overset{d}{\to}
   N\!\left(
   0,
   (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1}
   \right)
   $$
   を導く。
3. 最適重み $W=S^{-1}$ による効率化を理解する。
4. MD が GMM や SMM とどう関係するかを整理する。
:::

::: {.callout-important}
## 記法の確認

この章では、データから得られる縮約形統計量を $g_n\in\mathbb R^K$、構造モデルが与える理論対応物を $\gamma(\theta)\in\mathbb R^K$ とする。目的関数は
$$
Q_n(\theta)
=
-\frac12
\bigl(g_n-\gamma(\theta)\bigr)'
\widehat W_n
\bigl(g_n-\gamma(\theta)\bigr)
$$
である。

また、
$$
\Gamma(\theta)=\frac{\partial \gamma(\theta)}{\partial\theta'},
\qquad
\Gamma=\Gamma(\theta_0)
$$
と書く。ここで $\Gamma(\theta)$ は $K\times p$ 行列である。
:::

# 導入

Minimum Distance は、データから計算された何らかの統計量 $g_n$ に対し、構造モデルがその統計量について予測する値 $\gamma(\theta)$ を近づけることでパラメータを推定する方法である。

重要なのは、$g_n$ が必ずしも単純な標本平均である必要はないことである。たとえば

- 補助回帰の係数
- 分位点
- 分布の要約統計
- ヘテロジニアス・エージェント・モデルにおける wealth distribution の特徴量

なども $g_n$ として使える。

この意味で MD は非常に柔軟であり、GMM のように「各観測に対してモーメント関数 $g(X_t;\theta)$ を書く」必要がない場面でも使える。

::: {.callout-tip}
## GMM・SMM との関係

- GMM は、$g_n(\theta)$ という「パラメータ入りの標本モーメント」を直接最小化する。
- SMM は、データ・モーメント $g_n$ とシミュレーションで得た $\gamma_m(\theta)$ を一致させる。
- MD は、データ・モーメント $g_n$ と閉形式の $\gamma(\theta)$ を一致させる。

したがって MD は、SMM からシミュレーション誤差を取り除いたものと考えると理解しやすい。
:::

# 漸近正規性

## 基本定理

::: {#thm-md-asymp-normal}
## Minimum Distance 推定量の漸近正規性

$\hat\theta$ が
$$
\frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta}=o_p(n^{-1/2})
$$ {#eq-md-approx-foc}
を満たすとする。さらに次を仮定する。

1. $\hat\theta\overset{p}{\to}\theta_0$.
2. $\widehat W_n\overset{p}{\to}W$，ただし $W$ は正定値対称行列である。
3. $\theta_0$ は $\Theta$ の内部点である。
4. $\gamma(\theta)$ は $\theta$ について連続微分可能である。
5. 
   $$
   \sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)\overset{d}{\to}N(0,S),
   $$
   ただし $S$ は正定値である。
6. $\Gamma=\partial\gamma(\theta_0)/\partial\theta'$ は full column rank $p$ をもつ。

このとき
$$
\sqrt n(\hat\theta-\theta_0)
\overset{d}{\to}
N\!\left(
0,
(\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1}
\right).
$$
:::

::: {.proof}
一階条件より
$$
\frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta}
=
\Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\bigl(g_n-\gamma(\hat\theta)\bigr)
=
o_p(n^{-1/2})
$$
である。ここで $\gamma(\hat\theta)$ を $\theta_0$ のまわりで平均値展開すると、ある $\tilde\theta$ を用いて
$$
\gamma(\hat\theta)=\gamma(\theta_0)+\Gamma(\tilde\theta)(\hat\theta-\theta_0)
$$
だから
$$
\bigl(\Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\Gamma(\tilde\theta)\bigr)\sqrt n(\hat\theta-\theta_0)
=
\Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)+o_p(1)
$$
を得る。

一致性と $\Gamma(\theta)$ の連続性により
$$
\Gamma(\hat\theta)\overset{p}{\to}\Gamma,
\qquad
\Gamma(\tilde\theta)\overset{p}{\to}\Gamma
$$
であるから、
$$
\sqrt n(\hat\theta-\theta_0)
=
(\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'W\sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)+o_p(1)
$$
となる。最後は中心極限定理と Slutsky の定理で従う。
:::

## 何が仮定されているか

上の定理では
$$
\sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)\overset{d}{\to}N(0,S)
$$
を仮定しているが、これは実質的に **モデルが正しく特定されている** ことを意味する。もしどの $\theta$ に対しても $\gamma(\theta)$ がデータの極限統計量と一致しないなら、MD 推定量は「最も近い近似」を選ぶだけで、ここでの正規近似はそのままでは使えない。

## GMM との形式的類似

漸近分散の式は GMM と極めてよく似ている。違いは

- GMM では $G=\partial E[g(X_t;\theta)]/\partial\theta'$
- MD では $\Gamma=\partial\gamma(\theta)/\partial\theta'$

が登場する点である。

この意味で MD は、**モーメント条件が $g_n-\gamma(\theta)$ の形に分離している GMM** とみなせる。

# 最適重みと効率性

over identified の場合、重み行列の選び方はやはり重要である。効率的重みは
$$
W=S^{-1}
$$
であり、このとき漸近分散は
$$
(\Gamma'S^{-1}\Gamma)^{-1}
$$ {#eq-md-efficient}
に簡約される。

MD では、$S$ はデータから得られる縮約形統計量 $g_n$ の漸近分散である。したがって $S$ の一貫推定量 $\widehat S$ が得られれば、
$$
\widehat W_n=\widehat S^{-1}
$$
とすることで、**1 回の最適化で効率的 MD** を実装できる。

::: {.callout-note}
## なぜ GMM より実装が楽なことがあるか

GMM では $S$ の推定が $\theta$ に依存することが多く、二段階推定が自然だった。MD では $g_n$ 自体が先に推定される縮約形統計量であることが多いため、$S$ を先に評価しやすい。したがって効率的重みを最初から使える場面が少なくない。
:::

# 標準誤差の推定

## 一般形

一般の重み $W$ に対する漸近分散
$$
\Omega
=
(\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1}
$$
の推定量は、自然に
$$
\widehat\Omega
=
(\widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat\Gamma)^{-1}
\widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat S\widehat W_n\widehat\Gamma
(\widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat\Gamma)^{-1}
$$
である。ここで
$$
\widehat\Gamma=\Gamma(\hat\theta)
$$
である。

## 効率的重みの場合

もし $\widehat W_n=\widehat S^{-1}$ を使っているなら、推定量は大きく簡約されて
$$
\widehat\Omega_{\mathrm{eff}}
=
(\widehat\Gamma'\widehat S^{-1}\widehat\Gamma)^{-1}
$$
となる。

この式は GMM や SMM の効率的分散と全く同じ見た目であり、講義全体を通じて「効率的重みを使うと sandwich が簡約する」という共通構造が見えてくる。

# MD の応用上の解釈

MD は応用研究ではしばしば「二段階推定」の第 2 段階として現れる。

1. 第 1 段階で縮約形統計量 $g_n$ を推定する。
2. 第 2 段階でその統計量と構造モデル $\gamma(\theta)$ を一致させる。

たとえば、補助回帰から得られた係数ベクトルを $g_n$ とし、構造モデルがその係数に対して何を予測するかを $\gamma(\theta)$ とすれば、MD は「補助モデルを通じて構造パラメータを同定する」方法になる。

::: {.callout-important}
## 講義全体の見取り図

ここまでで

- M 推定
- GMM
- SMM
- MD

の 4 つを見てきた。これらは見た目こそ違うが、すべて
$$
\sqrt n(\hat\theta-\theta_0)\overset{d}{\to}N(0,H^{-1}\Sigma H^{-1})
$$
という共通骨格をもつ。次章では、この共通骨格の上に **仮説検定** を組み立てる。
:::

# まとめ

この章の要点は次の通りである。

1. MD は、データから得られた縮約形統計量 $g_n$ と理論対応物 $\gamma(\theta)$ の距離を最小化する推定法である。
2. 漸近分散は
   $$
   (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1}
   $$
   である。
3. 効率的重みは $W=S^{-1}$ であり、そのとき漸近分散は
   $$
   (\Gamma'S^{-1}\Gamma)^{-1}
   $$
   に簡約される。
4. 標準誤差推定では、$S$ の推定量と $\widehat\Gamma=\Gamma(\hat\theta)$ を plug-in すればよい。
5. MD は、分離可能な GMM やシミュレーション誤差のない SMM とみなせる。

::: {.callout-note}
## 次章への接続

次の仮説検定の章では、これまで得た漸近正規性と分散推定を使って、Wald 検定、LM 検定、QLR 検定を統一的に扱う。
:::
