# Minimum Distance

計量経済学大学院講義ノート

> 原ノートとの対応
> この講義ノートは Tim Christensen, Econometrics II の Chapter 6 “Minimum distance” をもとに、日本語の大学院向けノートとして再構成したものである。GMM と SMM の構造を踏まえつつ、ここでは Minimum Distance 推定量の漸近正規性と標準誤差 を簡潔に整理する。

ノートこの章の到達目標

この章の目的は次の 4 点である。

1. Minimum Distance（MD）推定量を、縮約形統計量 \(g_n\) と構造モデルの対応物 \(\gamma(\theta)\) を結びつける推定法として理解する。
2. MD 推定量の漸近分布 \[ \sqrt{n}(\hat\theta-\theta_0) \overset{d}{\to} N\!\left( 0, (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1} \right) \] を導く。
3. 最適重み \(W=S^{-1}\) による効率化を理解する。
4. MD が GMM や SMM とどう関係するかを整理する。

重要記法の確認

この章では、データから得られる縮約形統計量を \(g_n\in\mathbb R^K\)、構造モデルが与える理論対応物を \(\gamma(\theta)\in\mathbb R^K\) とする。目的関数は \[ Q_n(\theta) = -\frac12 \bigl(g_n-\gamma(\theta)\bigr)' \widehat W_n \bigl(g_n-\gamma(\theta)\bigr) \] である。

また、 \[ \Gamma(\theta)=\frac{\partial \gamma(\theta)}{\partial\theta'}, \qquad \Gamma=\Gamma(\theta_0) \] と書く。ここで \(\Gamma(\theta)\) は \(K\times p\) 行列である。

# 1 導入

Minimum Distance は、データから計算された何らかの統計量 \(g_n\) に対し、構造モデルがその統計量について予測する値 \(\gamma(\theta)\) を近づけることでパラメータを推定する方法である。

重要なのは、\(g_n\) が必ずしも単純な標本平均である必要はないことである。たとえば

- 補助回帰の係数
- 分位点
- 分布の要約統計
- ヘテロジニアス・エージェント・モデルにおける wealth distribution の特徴量

なども \(g_n\) として使える。

この意味で MD は非常に柔軟であり、GMM のように「各観測に対してモーメント関数 \(g(X_t;\theta)\) を書く」必要がない場面でも使える。

ヒントGMM・SMM との関係

- GMM は、\(g_n(\theta)\) という「パラメータ入りの標本モーメント」を直接最小化する。
- SMM は、データ・モーメント \(g_n\) とシミュレーションで得た \(\gamma_m(\theta)\) を一致させる。
- MD は、データ・モーメント \(g_n\) と閉形式の \(\gamma(\theta)\) を一致させる。

したがって MD は、SMM からシミュレーション誤差を取り除いたものと考えると理解しやすい。

# 2 漸近正規性

## 2.1 基本定理

定理 1 (Minimum Distance 推定量の漸近正規性) \(\hat\theta\) が \[ \frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta}=o_p(n^{-1/2}) \tag{1}\] を満たすとする。さらに次を仮定する。

1. \(\hat\theta\overset{p}{\to}\theta_0\).
2. \(\widehat W_n\overset{p}{\to}W\)，ただし \(W\) は正定値対称行列である。
3. \(\theta_0\) は \(\Theta\) の内部点である。
4. \(\gamma(\theta)\) は \(\theta\) について連続微分可能である。
5. \[ \sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)\overset{d}{\to}N(0,S), \] ただし \(S\) は正定値である。
6. \(\Gamma=\partial\gamma(\theta_0)/\partial\theta'\) は full column rank \(p\) をもつ。

このとき \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0) \overset{d}{\to} N\!\left( 0, (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1} \right). \]

証明. 一階条件より \[ \frac{\partial Q_n(\hat\theta)}{\partial\theta} = \Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\bigl(g_n-\gamma(\hat\theta)\bigr) = o_p(n^{-1/2}) \] である。ここで \(\gamma(\hat\theta)\) を \(\theta_0\) のまわりで平均値展開すると、ある \(\tilde\theta\) を用いて \[ \gamma(\hat\theta)=\gamma(\theta_0)+\Gamma(\tilde\theta)(\hat\theta-\theta_0) \] だから \[ \bigl(\Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\Gamma(\tilde\theta)\bigr)\sqrt n(\hat\theta-\theta_0) = \Gamma(\hat\theta)'\widehat W_n\sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)+o_p(1) \] を得る。

一致性と \(\Gamma(\theta)\) の連続性により \[ \Gamma(\hat\theta)\overset{p}{\to}\Gamma, \qquad \Gamma(\tilde\theta)\overset{p}{\to}\Gamma \] であるから、 \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0) = (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'W\sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)+o_p(1) \] となる。最後は中心極限定理と Slutsky の定理で従う。

## 2.2 何が仮定されているか

上の定理では \[ \sqrt n\bigl(g_n-\gamma(\theta_0)\bigr)\overset{d}{\to}N(0,S) \] を仮定しているが、これは実質的に モデルが正しく特定されている ことを意味する。もしどの \(\theta\) に対しても \(\gamma(\theta)\) がデータの極限統計量と一致しないなら、MD 推定量は「最も近い近似」を選ぶだけで、ここでの正規近似はそのままでは使えない。

## 2.3 GMM との形式的類似

漸近分散の式は GMM と極めてよく似ている。違いは

- GMM では \(G=\partial E[g(X_t;\theta)]/\partial\theta'\)
- MD では \(\Gamma=\partial\gamma(\theta)/\partial\theta'\)

が登場する点である。

この意味で MD は、モーメント条件が \(g_n-\gamma(\theta)\) の形に分離している GMM とみなせる。

# 3 最適重みと効率性

over identified の場合、重み行列の選び方はやはり重要である。効率的重みは \[ W=S^{-1} \] であり、このとき漸近分散は \[ (\Gamma'S^{-1}\Gamma)^{-1} \tag{2}\] に簡約される。

MD では、\(S\) はデータから得られる縮約形統計量 \(g_n\) の漸近分散である。したがって \(S\) の一貫推定量 \(\widehat S\) が得られれば、 \[ \widehat W_n=\widehat S^{-1} \] とすることで、1 回の最適化で効率的 MD を実装できる。

ノートなぜ GMM より実装が楽なことがあるか

GMM では \(S\) の推定が \(\theta\) に依存することが多く、二段階推定が自然だった。MD では \(g_n\) 自体が先に推定される縮約形統計量であることが多いため、\(S\) を先に評価しやすい。したがって効率的重みを最初から使える場面が少なくない。

# 4 標準誤差の推定

## 4.1 一般形

一般の重み \(W\) に対する漸近分散 \[ \Omega = (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1} \] の推定量は、自然に \[ \widehat\Omega = (\widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat\Gamma)^{-1} \widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat S\widehat W_n\widehat\Gamma (\widehat\Gamma'\widehat W_n\widehat\Gamma)^{-1} \] である。ここで \[ \widehat\Gamma=\Gamma(\hat\theta) \] である。

## 4.2 効率的重みの場合

もし \(\widehat W_n=\widehat S^{-1}\) を使っているなら、推定量は大きく簡約されて \[ \widehat\Omega_{\mathrm{eff}} = (\widehat\Gamma'\widehat S^{-1}\widehat\Gamma)^{-1} \] となる。

この式は GMM や SMM の効率的分散と全く同じ見た目であり、講義全体を通じて「効率的重みを使うと sandwich が簡約する」という共通構造が見えてくる。

# 5 MD の応用上の解釈

MD は応用研究ではしばしば「二段階推定」の第 2 段階として現れる。

1. 第 1 段階で縮約形統計量 \(g_n\) を推定する。
2. 第 2 段階でその統計量と構造モデル \(\gamma(\theta)\) を一致させる。

たとえば、補助回帰から得られた係数ベクトルを \(g_n\) とし、構造モデルがその係数に対して何を予測するかを \(\gamma(\theta)\) とすれば、MD は「補助モデルを通じて構造パラメータを同定する」方法になる。

重要講義全体の見取り図

ここまでで

- M 推定
- GMM
- SMM
- MD

の 4 つを見てきた。これらは見た目こそ違うが、すべて \[ \sqrt n(\hat\theta-\theta_0)\overset{d}{\to}N(0,H^{-1}\Sigma H^{-1}) \] という共通骨格をもつ。次章では、この共通骨格の上に 仮説検定 を組み立てる。

# 6 まとめ

この章の要点は次の通りである。

1. MD は、データから得られた縮約形統計量 \(g_n\) と理論対応物 \(\gamma(\theta)\) の距離を最小化する推定法である。
2. 漸近分散は \[ (\Gamma'W\Gamma)^{-1}\Gamma'WSW\Gamma(\Gamma'W\Gamma)^{-1} \] である。
3. 効率的重みは \(W=S^{-1}\) であり、そのとき漸近分散は \[ (\Gamma'S^{-1}\Gamma)^{-1} \] に簡約される。
4. 標準誤差推定では、\(S\) の推定量と \(\widehat\Gamma=\Gamma(\hat\theta)\) を plug-in すればよい。
5. MD は、分離可能な GMM やシミュレーション誤差のない SMM とみなせる。

ノート次章への接続

次の仮説検定の章では、これまで得た漸近正規性と分散推定を使って、Wald 検定、LM 検定、QLR 検定を統一的に扱う。