RDD は、制度が作るカットオフの不連続を使って因果効果を識別する方法である。識別の核心は、カットオフ近傍では他の要因が滑らかに変化する と考えられることである。
sharp RDD と fuzzy RDD の違い、そして実装上の注意点を分けて理解することが大事である。
今回はまず、素朴な回帰では自己負担の因果効果が見えないことを確認し、その後で制度のカットオフを使う RDD の発想に入る。後半では sharp / fuzzy RDD の違い、実装上の注意点、そして実証研究での読み方を整理する。
まず、素朴な相関ではなぜ因果効果が分からないのかを確認する。
次に、sharp RDD と fuzzy RDD の識別の考え方をフォーマルに整理する。
最後に、実装上の注意点と Shigeoka (2014) を中心とした実証研究の読み方を確認する。
導入：素朴な回帰ではなぜだめか
前回、操作変数法について学んだ。操作変数法は強力だが、いかんせん強い操作変数を見つけるのが難しいというのが欠点である。
逆に言えば、「強い IV」さえ見つけられれば大体の経済学者を黙らせる分析が可能になる。
今回紹介する不連続回帰デザイン 、Regression Discontinuity Design (RDD) は、「強い IV」を見つけて利用する系統的な方法論として理解して良い。
RDD の発想をつかむために、まずは政策担当者の立場で考えてみよう。
高齢者の医療費自己負担をどのように設計すべきかを考えている官僚がいるとする。
自己負担を下げれば受診は増えるだろうが、それが本当に必要な医療へのアクセス改善につながるのか、それとも単に医療費を膨らませるだけなのかは重要な問題である。
制度設計のためには、まず「自己負担が下がると人々はどれだけ医療を利用するようになるのか」を知りたい。
これが厚生労働省の官僚たる君の今回の仕事である。
そこで最初にやりたくなるのは、個人ごとの自己負担額 と外来受診回数 を集めて、散布図を書いたり単純な回帰をしたりすることである。
やってみる。
set.seed (1234 )<- 3000 # 観測されない健康状態（大きいほど健康が悪い） <- rnorm (n)# 真の自己負担額 <- 25 + 10 * health_bad + rnorm (n, sd = 8 )# 真の構造：自己負担が高いほど受診回数は減る # ただし健康が悪い人ほど受診回数は多い <- 8 - 0.15 * copay + 2.2 * health_bad + rnorm (n, sd = 1.8 )<- data.frame (copay = copay,visits = visitsplot (df_naive$ copay, df_naive$ visits,pch = 16 , cex = 0.5 ,xlab = "自己負担額" ,ylab = "外来受診回数" ,main = "自己負担額と外来受診回数の素朴な散布図" )abline (lm (visits ~ copay, data = df_naive), lwd = 2 )
summary (lm (visits ~ copay, data = df_naive))
Call:
lm(formula = visits ~ copay, data = df_naive)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-8.742 -1.483 0.009 1.515 7.985
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 4.716457 0.091092 51.777 < 2e-16 ***
copay -0.016757 0.003241 -5.171 2.48e-07 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 2.264 on 2998 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.00884, Adjusted R-squared: 0.008509
F-statistic: 26.74 on 1 and 2998 DF, p-value: 2.483e-07
しかし、この素朴な方法はうまくいかない。
なぜなら、
もともと病気が重い人ほど病院に多く通うし、
支払う医療費も多くなりやすいからである。
つまりデータの中で見えている相関は、「価格が高いと受診しない」という因果効果ではなく、「具合の悪い人ほどたくさん受診し、たくさん支払う」という健康状態の違いを反映しているかもしれない。
ということで、上記の散布図や回帰結果は、自己負担の因果効果をそのまま教えてはくれない。
問題を整理すると以下のような感じ。
数式で書けば、官僚が見たいのは本当は
\[
\text{visits}_i = \alpha + \beta\, \text{copay}_i + u_i
\]
における \(\beta\) である。
ここで \(\text{visits}_i\) は外来受診回数、\(\text{copay}_i\) は自己負担額である。政策担当者が知りたいのは、自己負担が外生的に変化したときに受診回数がどう動くか、すなわち \(\beta\) の因果的な意味である。
ところが実際には、観測されない健康状態 \(h_i\) が存在して、
\[
\text{visits}_i = \alpha + \beta\, \text{copay}_i + \gamma h_i + \varepsilon_i
\]
のようになっていると考えるのが自然である。さらに、健康状態の悪い人ほど多く医療を利用するので、自己負担額とも相関しやすい。すると
\[
\operatorname{Cov}(\text{copay}_i,\varepsilon_i) \neq 0
\]
となり、単純な散布図や OLS では \(\beta\) をきれいに識別できない。
RDD の発想は、本来なめらかに変わるはずの世界に制度が作った段差 を利用することにある。したがって、まず treatment のジャンプと outcome のジャンプの両方を見る、という順番が大事である。
制度を使う
この問題はただのエクササイズではなく、本当に問題となっている本当に重要な問題である。
Shigeoka (2014) はこの問題を正面から扱った論文であり、その識別戦略は今回注目するRDDである。
Shigeoka (2014) の研究が利用しているのは、
日本では当時、70歳になると医療費の自己負担が大きく下がる というルール
である。
70歳未満の人と70歳以上の人では患者負担が制度上大きく異なっており、この カットオフ が非常に強い価格変化を生んでいる。
この制度の重要な点は、年齢そのものは連続的に変化するのに、自己負担だけが70歳で不連続に変わる ことである。
69歳11か月の人と70歳0か月の人は、本来きわめてよく似た人たちだと考えられる。健康状態も、所得も、生活環境も、年齢に対して通常は滑らかに変わるはずである。ところが制度上の価格だけは、70歳を境にジャンプする。もし受診回数もその地点でジャンプしていれば、その差を自己負担の因果効果として解釈できるのではないか、というのが RDD の基本アイデアである。
この発想をシミュレーションで見てみよう。ここでは 70歳未満では自己負担が高く、70歳以上では自己負担が低くなるような制度を人工的に作る。
set.seed (5678 )<- 4000 <- runif (n, min = 68 , max = 72 )<- ifelse (age >= 70 , 1 , 0 )# 健康状態は年齢に対して滑らかに変化 <- 0.4 * (age - 70 ) + rnorm (n)# 70歳で自己負担が不連続に低下 <- 30 - 12 * post70 + 4 * health_bad + rnorm (n, sd = 2 )# 自己負担が下がると受診回数が増える <- 6 - 0.25 * copay + 1.5 * health_bad + 0.3 * (age - 70 ) + rnorm (n, sd = 1.5 )<- data.frame (age = age,copay = copay,visits = visits
まず、70歳で本当に自己負担が jump していることを確認する。
plot (df_rdd$ age, df_rdd$ copay,pch = 16 , cex = 0.4 ,xlab = "年齢" ,ylab = "自己負担額" ,main = "70歳で自己負担額が不連続に下がる" )abline (v = 70 , lty = 2 , lwd = 2 )<- lm (copay ~ age, data = subset (df_rdd, age < 70 ))<- lm (copay ~ age, data = subset (df_rdd, age >= 70 ))<- seq (68 , 70 , length.out = 100 )<- seq (70 , 72 , length.out = 100 )lines (xx_left, predict (fit_left, newdata = data.frame (age = xx_left)), lwd = 2 )lines (xx_right, predict (fit_right, newdata = data.frame (age = xx_right)), lwd = 2 )
次に、外来受診回数も 70歳で jump しているかを見る。
plot (df_rdd$ age, df_rdd$ visits,pch = 16 , cex = 0.4 ,xlab = "年齢" ,ylab = "外来受診回数" ,main = "70歳で外来受診回数にも不連続があるか" )abline (v = 70 , lty = 2 , lwd = 2 )<- lm (visits ~ age, data = subset (df_rdd, age < 70 ))<- lm (visits ~ age, data = subset (df_rdd, age >= 70 ))lines (xx_left, predict (fit_left_y, newdata = data.frame (age = xx_left)), lwd = 2 )lines (xx_right, predict (fit_right_y, newdata = data.frame (age = xx_right)), lwd = 2 )
ここで見ているのは、70歳の直前と直後で 結果 にどれだけ大きな ジャンプ があるか である。
年齢の効果そのものは滑らかだと考え、制度によって価格だけが不連続に変化するなら、その不連続を利用して価格の因果効果を識別できる。これが RDD の考え方である。
したがって RDD は、
本来はなめらかに変化するはずの世界に、制度が作った段差を利用して因果効果を識別する方法
だと理解できる。
前回の IV の話とのつながりで言えば、RDD は「制度の cutoff に埋め込まれた非常に強い外生 variation を使う方法」である。
普通の IV では、操作変数が本当に強いか、外生的か、という点がいつも問題になる。これに対して RDD では、制度それ自体が強い不連続を作ってくれている。だから RDD はしばしば非常に説得力のある実証デザインになる。
もちろん、カットオフがあるだけで何でも識別できるわけではない。 本当に重要なのは、カットオフの直前直後で人々が十分に似ているか 、そして 制度以外の要因がその点で不連続に変化していないか である。
以下では、この考え方をより フォーマルに定義する。 まずは
running variable
cutoff
treatment の不連続
outcome の不連続
という概念を導入し、RDD がどのように因果効果を識別するのかを説明する。
ここでは running variable、cutoff、sharp RDD、fuzzy RDD という基本用語をそろえる。直感だけでなく、どの極限を比較しているのか を意識して読むと理解しやすい。
RDD をフォーマルに書く
RDD では、各個人 \(i\) に対して、連続的な変数 \(X_i\) が観測されているとする。ランニング変数 と呼ぶ。先ほどの例では年齢がこれにあたる。
また、ある閾値 \(c\) が存在し、この値を境に制度上の扱いが変わるとする。\(c\) を カットオフ と呼ぶ。
RDD の基本的な発想は、
カットオフのごく近くでは、\(X_i\) が少し違うだけの個人同士は非常によく似ているはずであり、その一方で処置だけがカットオフで不連続に変化する
というものである。
まずは、処置がカットオフをまたぐと完全に切り替わる、最も基本的な シャープRDD から考える。
シャープRDD
シャープRDDでは、処置はランニング変数がカットオフを超えたかどうかだけで機械的に決まる。
\[
D_i = 1\{X_i \ge c\}
\]
である。ここで \(D_i\) は処置ダミーであり、\(1\{\cdot\}\) は条件が成り立つとき1、そうでないとき0をとる指示関数である。
たとえば、
\(X_i\) = 年齢\(c = 70\) \(D_i\) = 70歳以上で低い自己負担率が適用されるかどうか
というのが先ほどの例である。
潜在結果変数
因果効果を考えるために、各個人について潜在結果変数を導入する。\(Y_i(1)\) を処置を受けたときの潜在結果変数、\(Y_i(0)\) を処置を受けなかったときの潜在結果変数とする。
観察される結果変数は
\[
Y_i = D_i Y_i(1) + (1-D_i) Y_i(0)
\]
である。
我々が知りたいのは、カットオフ近傍にいる個人にとって処置が結果変数に与える影響である。\(X_i=c\) における局所的な平均因果効果として捉える。
識別のアイデア
シャープRDDの核心は、潜在結果変数の条件付き期待値がカットオフで連続である、という仮定である。
\[
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i(0)\mid X_i=x]
=
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i(0)\mid X_i=x]
\]
かつ
\[
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i(1)\mid X_i=x]
=
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i(1)\mid X_i=x]
\]
を仮定する。
この仮定の意味は、「もし制度がなければ、結果変数はカットオフのところで滑らかに変化していたはずだ」ということである。
実際、シャープRDDでは
\[
E[Y_i \mid X_i=x]
=
\begin{cases}
E[Y_i(0)\mid X_i=x] & (x<c) \\
E[Y_i(1)\mid X_i=x] & (x\ge c)
\end{cases}
\]
なので、カットオフにおける左右極限の差は
\[
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
\]
\[
=
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i(1)\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i(0)\mid X_i=x].
\]
連続性仮定より、これは
\[
E[Y_i(1)-Y_i(0)\mid X_i=c]
\]
に等しい。
したがってシャープRDDでは、カットオフにおける結果変数の不連続が、そのままカットオフ近傍での平均因果効果になる。
これをシャープRDDの識別対象と書けば、
\[
\tau_{SRD}
=
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i\mid X_i=x].
\]
そして連続性仮定のもとで
\[
\tau_{SRD}
=
E[Y_i(1)-Y_i(0)\mid X_i=c].
\]
これがシャープRDDの識別結果である。
何を仮定しているのか
ここで重要なのは、RDDが「カットオフの前後の人が完全に同じ」と言っているわけではないことである。滑らかに 変化していることである。
つまり、カットオフで不連続に変わるのが処置だけであれば、結果変数に現れる不連続も処置の効果だと考えられる。
逆に言えば、カットオフで処置以外のものまで同時に不連続に変わってしまうと、RDDの解釈は壊れる。
ランニング変数の密度がカットオフで不連続でないか
あらかじめ決まっている共変量がカットオフで不連続でないか
を確認することが重要になる。
シャープRDDの回帰表現
実務では、カットオフの近傍だけに注目して、結果変数をランニング変数の関数として近似する。
\[
Y_i
=
\alpha
+
\tau D_i
+
\beta_1 (X_i-c)
+
\beta_2 D_i (X_i-c)
+
u_i
\]
を推定する。
ここで
\(\alpha\) はカットオフ直前の条件付き平均\(\tau\) はカットオフにおける不連続\(\beta_1\) はカットオフ左側の傾き\(\beta_1+\beta_2\) はカットオフ右側の傾き
を表す。
この式で最も重要なのは \(\tau\) であり、これがシャープRDDの処置効果に対応する。
もちろん、実際にはカットオフから遠いところのデータをそのまま使うのではなく、カットオフ近傍だけを用い、しかも近い観測に大きな重みを置くのが一般的である。
ファジーRDD
ここまでは、カットオフをまたぐと処置が完全に切り替わるシャープRDDを見た。
たとえば、
70歳を超えると自己負担率は下がるはずだが、実際の負担額には多少のばらつきがある
テストの点数が基準を超えたら補習の対象から外れるはずだが、実際には裁量で例外がある
所得基準を超えたら給付金が減るはずだが、事務処理や申請の有無で完全には一致しない
ということがある。
このように、カットオフで処置の確率 は不連続に変化するが、処置が完全には決まらない状況を ファジーRDD という。
シャープRDDでは
\[
D_i = 1\{X_i \ge c\}
\]
だったが、ファジーRDDではこれは成り立たない。
\[
P(D_i=1\mid X_i=x)
\]
が \(x=c\) で不連続になることを利用する。
すなわち、
\[
\lim_{x \downarrow c} E[D_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[D_i\mid X_i=x]
\neq 0
\]
であることが重要である。
ファジーRDDの識別対象
ファジーRDDでは、結果変数の不連続そのものは処置効果ではない。
その代わり、カットオフにおける
の比をとる。
つまり、
\[
\tau_{FRD}
=
\frac{
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
}{
\lim_{x \downarrow c} E[D_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[D_i\mid X_i=x]
}.
\]
この形は、まさに Wald 推定量である。カットオフをまたいだかどうかを操作変数としたIV だと理解できる。
具体的には、
\[
Z_i = 1\{X_i \ge c\}
\]
を操作変数と考える。\(Z_i\) はカットオフをまたいだかどうかを表し、これが処置 \(D_i\) を不連続に動かす。\(Z_i\) はカットオフ近傍では処置を通じてのみ結果変数に影響すると考えられる。
この意味でファジーRDDは、ランニング変数がカットオフを超えたかどうかを操作変数として使う局所的な2段階最小二乗法 である。
ファジーRDDはなぜIVなのか
IVの言葉で言えば、\(Z_i=1\{X_i\ge c\}\) は次の2つの性質を持つ。
第一に、関連性 がある。
\[
\lim_{x \downarrow c} E[D_i\mid X_i=x]
\neq
\lim_{x \uparrow c} E[D_i\mid X_i=x].
\]
第二に、カットオフ近傍では 外生性 や 排除制約 が成り立つと考える。\(X_i\) のその他の効果は滑らかであり、\(Z_i\) が結果変数に与える不連続な影響は処置を通じたものだけだと考える。
その結果、ファジーRDDの識別対象はIVのWald比と同じ形になる。
\[
\text{IV推定量}
=
\frac{\text{操作変数が結果変数をどれだけ動かしたか}}{\text{操作変数が処置をどれだけ動かしたか}}
\]
という前回の形が、そのまま
\[
\tau_{FRD}
=
\frac{\text{カットオフにおける結果変数の不連続}}{\text{カットオフにおける処置確率の不連続}}
\]
として現れているのである。
したがってファジーRDDは、
カットオフをまたいだかどうかを操作変数とする局所的なIV
だと理解すればよい。
シャープRDDとファジーRDDの違い
両者の違いは、カットオフで何が不連続に変化するかにある。
シャープRDDでは、処置そのものがカットオフで完全に切り替わる。
一方、ファジーRDDでは、カットオフで不連続に変化するのは処置そのものではなく、処置を受ける確率 である。
RDD は図で理解しやすい反面、どの回帰がどのジャンプを推定しているのかが曖昧になりやすい。ここではシミュレーションを通じて、図で見た段差が推定量にどう対応するかを確認する。
シミュレーション
ここまでで、RDD では「カットオフの前後で、処置や結果変数に不連続が現れるか」を見る、ということを学んだ。
ここではまず シャープRDD の例を作る。ファジーRDD では「処置そのもの」ではなく「処置を受ける確率」がカットオフで不連続に変わることも確認する。
シャープRDDのシミュレーション
以下では、ランニング変数 \(X_i\) が一様分布に従うとする。\(c=0\) とし、\(X_i \ge 0\) なら処置を受けるものとする。
潜在結果変数は
\[
Y_i(0) = 2 + 0.8X_i + u_i
\]
\[
Y_i(1) = Y_i(0) + 1.5
\]
とする。\(1.5\) である。
\[
Y_i = D_i Y_i(1) + (1-D_i)Y_i(0)
\]
であり、\(D_i = 1\{X_i \ge 0\}\) である。
set.seed (123 )<- 2000 <- runif (n, min = - 1 , max = 1 )<- ifelse (x >= 0 , 1 , 0 )<- rnorm (n, mean = 0 , sd = 0.5 )<- 2 + 0.8 * x + u<- y0 + 1.5 <- d * y1 + (1 - d) * y0<- data.frame (x = x,d = d,y = yhead (df_sharp)
x d y
1 -0.4248450 0 1.162225
2 0.5766103 1 3.441311
3 -0.1820462 0 1.845373
4 0.7660348 1 4.046740
5 0.8809346 1 2.930076
6 -0.9088870 0 1.793177
まず、ランニング変数と処置の関係を描いてみよう。 シャープRDDでは、カットオフで処置が完全に切り替わるはずである。
plot (df_sharp$ x, df_sharp$ d,pch = 16 , cex = 0.4 ,xlab = "Running variable" ,ylab = "Treatment dummy" ,main = "Sharp RDD" )abline (v = 0 , lty = 2 , lwd = 2 )
次に、ランニング変数と結果変数の関係を描いてみる。 カットオフで結果変数にも不連続が現れるはずである。
plot (df_sharp$ x, df_sharp$ y,pch = 16 , cex = 0.4 ,xlab = "Running variable" ,ylab = "Outcome" ,main = "Sharp RDD" )abline (v = 0 , lty = 2 , lwd = 2 )<- lm (y ~ x, data = subset (df_sharp, x < 0 ))<- lm (y ~ x, data = subset (df_sharp, x >= 0 ))<- seq (- 1 , 0 , length.out = 100 )<- seq (0 , 1 , length.out = 100 )lines (xx_left,predict (fit_left, newdata = data.frame (x = xx_left)),lwd = 2 )lines (xx_right,predict (fit_right, newdata = data.frame (x = xx_right)),lwd = 2 )
この図では、カットオフの左側と右側で回帰直線を別々に引いている。 そのとき、\(x=0\) のところで生じる縦のズレが、シャープRDDにおける処置効果に対応する。
最も単純な回帰式でこれを推定すると、
\[
Y_i = \alpha
+
\tau D_i
+
\beta_1 X_i
+
\beta_2 D_i X_i
+
u_i
\]
となる。 ここで \(\tau\) がカットオフにおける不連続、すなわちシャープRDDの効果である。
<- lm (y ~ d + x + d: x, data = df_sharp)summary (fit_sharp)
Call:
lm(formula = y ~ d + x + d:x, data = df_sharp)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.52675 -0.33739 -0.01125 0.34063 1.69450
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.017531 0.030665 65.793 <2e-16 ***
d 1.480874 0.043922 33.716 <2e-16 ***
x 0.815428 0.053436 15.260 <2e-16 ***
d:x -0.009835 0.076668 -0.128 0.898
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4975 on 1996 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8459, Adjusted R-squared: 0.8457
F-statistic: 3654 on 3 and 1996 DF, p-value: < 2.2e-16
上の回帰で、d の係数がカットオフにおける不連続の大きさを表している。 今回のシミュレーションでは真の処置効果を \(1.5\) に設定しているので、推定値もそれに近い値になるはずである。
カットオフ近傍だけを見る
RDDでは、カットオフから遠い観測まで無条件に使うのではなく、カットオフ近傍だけに注目することが重要である。 そこで、\(|X_i| \le 0.3\) のデータだけを使って同じ回帰をしてみよう。
<- subset (df_sharp, abs (x) <= 0.3 )<- lm (y ~ d + x + d: x, data = df_sharp_local)summary (fit_sharp_local)
Call:
lm(formula = y ~ d + x + d:x, data = df_sharp_local)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.28966 -0.31846 -0.01704 0.31496 1.67365
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.06300 0.05336 38.661 < 2e-16 ***
d 1.42120 0.07729 18.387 < 2e-16 ***
x 1.11954 0.31125 3.597 0.000347 ***
d:x -0.16755 0.44711 -0.375 0.707980
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4762 on 628 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7709, Adjusted R-squared: 0.7698
F-statistic: 704.4 on 3 and 628 DF, p-value: < 2.2e-16
このように、カットオフ近傍だけに絞ることで、「左右の個人は十分似ているはずだ」というRDDの発想により忠実な推定になる。 一方で、使うデータが少なくなるので標準誤差は大きくなりやすい。 このトレードオフが、後で学ぶ バンド幅選択 の問題である。
ファジーRDDのシミュレーション
次に、ファジーRDDを考える。 ここでは、カットオフを超えると処置を受ける確率は大きく上がるが、処置が完全には決まらない状況を作る。
具体的には、処置ダミー \(D_i\) を確率的に発生させる。 カットオフ左側では処置確率を低く、右側では高くする。
set.seed (456 )<- 3000 <- runif (n, min = - 1 , max = 1 )<- ifelse (x >= 0 , 1 , 0 ) # カットオフをまたいだかどうか # 処置確率はカットオフで不連続に上がる <- ifelse (x < 0 , 0.2 + 0.1 * (x + 1 ), 0.7 + 0.1 * x)<- pmin (pmax (p_d, 0.01 ), 0.99 )<- rbinom (n, size = 1 , prob = p_d)<- rnorm (n, mean = 0 , sd = 0.5 )<- 1 + 0.5 * x + u<- y0 + 2 <- d * y1 + (1 - d) * y0<- data.frame (x = x,z = z,d = d,y = y,p_d = p_dhead (df_fuzzy)
x z d y p_d
1 -0.8208968 0 0 0.6174627 0.2179103
2 -0.5789754 0 0 0.7865857 0.2421025
3 0.4659105 1 0 1.0704556 0.7465911
4 0.7042671 1 0 1.0910863 0.7704267
5 0.5767958 1 1 3.4204633 0.7576796
6 -0.3360801 0 0 0.8050766 0.2663920
まず、カットオフで処置確率が不連続に変化していることを図で確認する。 個票のままだと見にくいので、区間ごとの平均を描く。
<- seq (- 1 , 1 , by = 0.05 )<- cut (df_fuzzy$ x, breaks = breaks, include.lowest = TRUE )<- tapply (df_fuzzy$ x, bin_id, mean)<- tapply (df_fuzzy$ d, bin_id, mean)plot (bin_mean_x, bin_mean_d,pch = 16 ,xlab = "Running variable" ,ylab = "Avg. Prob. Treatment" ,main = "Fazzy RDD" )abline (v = 0 , lty = 2 , lwd = 2 )
次に、結果変数のほうにもカットオフで不連続があるかを見る。
<- tapply (df_fuzzy$ y, bin_id, mean)plot (bin_mean_x, bin_mean_y,pch = 16 ,xlab = "Running variable" ,ylab = "Avg. Prob. Treatment" ,main = "Fazzy RDD" )abline (v = 0 , lty = 2 , lwd = 2 )
ファジーRDDでは、結果変数の不連続をそのまま処置効果とは読めない。 なぜなら、カットオフで変わっているのは処置そのものではなく、処置を受ける確率 だからである。
したがって、ファジーRDDでは
\[
\frac{\text{結果変数の不連続}}{\text{処置確率の不連続}}
\]
をとる。 これは前回学んだ Wald 推定量と同じ発想であり、ファジーRDDが局所的なIVになっていることを意味する。
まず、局所線形回帰で結果変数の不連続と処置確率の不連続をそれぞれ推定してみよう。
<- lm (y ~ z + x + z: x, data = df_fuzzy)<- lm (d ~ z + x + z: x, data = df_fuzzy)<- coef (fit_y)["z" ]<- coef (fit_d)["z" ]<- jump_y / jump_d
ここで
jump_y はカットオフにおける結果変数の不連続jump_d はカットオフにおける処置確率の不連続wald_fuzzy はその比
であり、これがファジーRDDの推定量である。
ファジーRDDはIVとして推定できる
ファジーRDDでは、カットオフをまたいだかどうか
\[
Z_i = 1\{X_i \ge 0\}
\]
を操作変数とみなすことができる。 すると、ファジーRDDは局所的なIVそのものである。
AER パッケージの ivreg() を使うと、同じ発想をそのまま実装できる。
library (AER)<- ivreg (~ d + x + d: x | + x + z: x,data = df_fuzzysummary (fit_iv)
Call:
ivreg(formula = y ~ d + x + d:x | z + x + z:x, data = df_fuzzy)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.88781 -0.34652 -0.01614 0.34401 1.84160
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.00695 0.04461 22.570 <2e-16 ***
d 2.06215 0.08564 24.079 <2e-16 ***
x 0.57477 0.06507 8.833 <2e-16 ***
d:x -0.16900 0.11253 -1.502 0.133
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.5046 on 2996 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.838, Adjusted R-squared: 0.8379
Wald test: 2421 on 3 and 2996 DF, p-value: < 2.2e-16
この回帰では、
d が内生的な処置z が操作変数x と z:x がランニング変数まわりのコントロール
になっている。 考え方としては、「カットオフをまたいだことが処置確率をどれだけ変え、その結果として結果変数をどれだけ変えたか」を見ている。
RDD は説得力の強いデザインだが、実装を雑にするとかなり危うくなる。特に カットオフ近傍に絞ること 、高次多項式に頼りすぎないこと 、操作や共変量の不連続を点検すること が重要である。
RDD の実装
ここまでで、RDD の基本的な識別の考え方は確認した。
どのデータを使って推定するのか
図をどう読むのか
推定結果をどこまで信用してよいのか
を慎重に考えなければならない。
この節では、RDD を実際に使うときに重要になる実装上のポイントを整理する。
RDDの図をどう読むか
RDD の図で見たいものは、ランニング変数と結果変数の関係そのものではない。カットオフにおける不連続 である。
横軸にランニング変数、縦軸に結果変数をとって散布図を描くとき、重要なのは
カットオフの左側で結果変数がどう推移しているか
カットオフの右側で結果変数がどう推移しているか
その2つをカットオフまで延長したとき、縦にどれだけズレているか
である。
言い換えると、RDD は「左側の平均」と「右側の平均」を比べる方法ではない。カットオフにおける左右の極限 である。
シャープRDD の識別対象は
\[
\tau_{SRD}
=
\lim_{x \downarrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
-
\lim_{x \uparrow c} E[Y_i\mid X_i=x]
\]
だった。カットオフちょうどのところで不連続があるか が重要になる。
また、左右の傾きが違っていても、それ自体は問題ではない。
なぜカットオフ近傍だけを見るのか
RDD の識別は、カットオフの近くにいる個人同士は十分似ている、という考え方に依存している。
たとえば年齢をランニング変数にして 70 歳をカットオフとする場合、69 歳 11 か月の人と 70 歳 0 か月の人はかなり似ていると考えやすい。
このため、RDD では通常、カットオフ近傍のデータだけを使って推定する 。バンド幅 である。
バンド幅を小さくすると、比較される個人同士はより似たものになり、識別の説得力は高まる。
逆にバンド幅を大きくすると、推定は安定しやすくなるが、カットオフから遠い観測まで混ざってしまい、局所比較としての説得力は弱まる。
つまりバンド幅の選択には、
というトレードオフがある。
実務では、この問題に対処するために、カットオフ近傍だけを使う 局所線形回帰 が標準的に使われる。
なぜ単純な高次多項式に頼りすぎてはいけないのか
RDD を初めて学ぶと、全標本を使って
\[
Y_i
=
\alpha
+
\tau D_i
+
\beta_1 X_i
+
\beta_2 X_i^2
+
\beta_3 X_i^3
+
\cdots
+
u_i
\]
のような高次多項式を入れればよいのではないか、と思うかもしれない。
理由は単純で、高次多項式はカットオフから遠い領域の形に強く影響されやすく、カットオフ近傍での推定を不自然に歪めることがあるからである。
したがって、講義レベルでは
RDD ではカットオフ近傍だけを使い、左右で別々に局所線形回帰をするのが標準的である
と理解しておけば十分である。
RDDで必ず確認すべきこと
RDD が説得力を持つためには、「カットオフで不連続なのは処置だけである」という解釈が成り立たなければならない。
共変量がカットオフで不連続でないか
まず確認すべきなのは、あらかじめ決まっている個人属性や共変量がカットオフで不連続になっていないかである。
たとえば、
性別
学歴
家族背景
過去の健康状態
前年度の成績
など、処置の前に決まっている変数がカットオフで急に飛んでいるとしたら、左右の個人が「ほとんど同じ」とは言いにくくなる。
理想的には、これらの変数については
\[
\lim_{x \downarrow c} E[W_i\mid X_i=x]
=
\lim_{x \uparrow c} E[W_i\mid X_i=x]
\]
が成り立っていてほしい。\(W_i\) は事前に決まっている共変量である。
したがって実証では、主要な共変量についても RDD の図や回帰を行い、カットオフで不連続がないことを確認する。
ランニング変数の密度がカットオフで不連続でないか
次に重要なのが、ランニング変数そのものの分布がカットオフで不連続でないか、という点である。
もし人々がカットオフの左右を意図的に操作できるなら、カットオフ近傍の左右の個人はもはや「ほとんどランダムに分かれた集団」とは言えなくなる。
この問題は、ランニング変数の密度をカットオフ近傍で描くことである程度確認できる。
この発想にもとづく代表的な検定が McCrary test である。
カットオフの左右に不自然な人の集まり方がないかを確認する。
プラセボ・カットオフ
さらに有用なのが、本当のカットオフ以外の場所でも不連続が出ていないか を見ることである。
このため、実証では本来のカットオフとは別の場所に偽のカットオフを置いて、同じような推定を行うことがある。プラセボ・カットオフ の確認という。
本物の制度変更点でだけ不連続が見え、他の場所では見えないのであれば、RDD の解釈はより説得的になる。
RDDの推定結果をどう解釈するか
RDD が識別しているのは、一般に カットオフ近傍での局所的な効果 である。
たとえば 70 歳をカットオフにした医療制度の RDD で識別されるのは、70 歳近傍にいる人々にとっての自己負担変化の効果である。
したがって RDD は非常に説得力のある因果効果を与える一方で、その効果は本質的に 局所的 である。
言い換えると、RDD の強みは「かなりきれいな比較ができる」ことにあるが、その代償として「わかるのはカットオフ近傍の効果に限られる」ことが多い。
RDDの限界
RDD は強力な方法だが、万能ではない。主な限界は次の通りである。
第一に、カットオフ近傍でしか識別できない。
第二に、ランニング変数が操作可能だとデザインが壊れうる。
第三に、推定は仕様に敏感になりうる。
第四に、カットオフ近傍のデータが少ないと、不精確な推定になりやすい。
実証研究では、どの制度ルールが cutoff を作っているのか、その cutoff の前後で本当に人々が似ていると言えそうか、そしてどの範囲の local effect を読んでいるのか、という順に確認すると読みやすい。
RDD を使った実証研究
Shigeoka (2014) : The Effect of Patient Cost Sharing on Utilization, Health, and Risk Protection
ここでは、RDD を使った代表的な実証研究として Shigeoka (2014) を取り上げる。
に与える因果効果を推定している。
この論文の魅力は、RDD の発想が非常に明確に表れている点にある。
制度の設定
この論文が利用している制度的ショックは、70 歳到達時点での自己負担率の大幅な低下である。
ランニング変数は 年齢
カットオフは 70 歳
処置は 低い自己負担率が適用されること
である。
この設定のもとで、論文は次の問いを考えている。
医療価格が下がると、人はどれだけ多く医療を使うようになるのか
その利用増加は健康改善につながるのか
自己負担軽減は家計の医療費リスクをどれだけ下げるのか
メインの回帰式
この論文では、結果変数に応じて少し異なる形の RDD 回帰を使っている。
個人レベルの結果変数
健康状態や自己負担支出のように、個人ごとに観察できる変数については、基本的に
\[
Y_{iat} = f(a) + \beta \,\mathrm{Post70}_{iat} + X_{iat}'\gamma + \varepsilon_{iat}
\]
という形の回帰を行う。
ここで
\(Y_{iat}\) は個人 \(i\) 、年齢 \(a\) 、年 \(t\) における結果変数\(\mathrm{Post70}_{iat}\) は 70 歳以上ダミー\(f(a)\) は年齢の滑らかな関数\(X_{iat}\) は共変量
である。
この式における \(\beta\) は、70 歳で自己負担が下がることによる不連続な変化 を表している。
集計カウントの結果変数
一方、患者数や死亡数のように人数の集計として観察される変数については、
\[
\log(Y_{at}) = f(a) + \beta \,\mathrm{Post70}_{at} + \mu_{at}
\]
という形を使う。
ここで \(Y_{at}\) は年齢 \(a\) 、年 \(t\) における患者数や死亡数である。\(\beta\) は、70 歳到達による人数のパーセント変化として読める。
つまりこの論文は、結果変数に応じて
個人データなら通常の RDD
カウントデータなら対数カウントを使った RDD
を使い分けている。
実際の推定のイメージ
実装の中身は、70 歳の周辺で年齢プロファイルを左右別々の滑らかな関数で近似し、その 70 歳での縦のズレを読む、という標準的な RDD である。
その考え方は、たとえば
\[
Y_i
=
\alpha
+
\tau D_i
+
\beta_1 (A_i-70)
+
\beta_2 D_i(A_i-70)
+
u_i
\]
のような局所線形回帰で表現できる。
\(A_i\) は年齢\(D_i = 1\{A_i \ge 70\}\) は 70 歳以上ダミー\(\tau\) は 70 歳における不連続
である。
論文そのものでは、70 歳近傍のサンプルに絞り、年齢の多項式を左右で別々に入れ、さらに共変量も加える、という形でより丁寧に推定している。70 歳のところで結果変数がどれだけ不連続に変化するか である。
外来受診は 70 歳で増える
Figure 2 は、この論文の中心的な結果を示している。
この図の構造は RDD の基本そのものである。
横軸は年齢
縦軸は外来受診に関する結果変数
70 歳の縦線がカットオフ
左右で滑らかな年齢プロファイルを引いたとき、70 歳で縦のズレが生じている
この不連続は、70 歳で自己負担率が下がったことによって、外来利用が増えたことを意味している。
また Figure 2 には、単に「受診したかどうか」だけでなく、再診患者の受診間隔に関する情報も含まれている。
受診者数が増える
既存患者もより頻繁に通うようになる
という2つの変化を同時に示している。
論文の第一の結論は、自己負担が下がると外来利用は増える 、という点にある。
入院も 70 歳で増える
Figure 4 は、入院に関する年齢プロファイルを示している。
外来だけを見ていると、価格低下によって軽症の受診が少し増えただけではないか、という見方も可能である。
したがってこの論文の第二のポイントは、自己負担の低下は外来だけでなく入院利用も押し上げる 、という点である。
ただし健康改善ははっきりしない
Figure 6 は、死亡に関する年齢プロファイルを示している。
この点は論文の重要な含意である。
したがって、この論文のメッセージは単純な「価格を下げれば健康が改善する」というものではない。
自己負担軽減は医療利用を増やす
しかし健康改善の証拠は限定的である
その一方で、家計の医療費リスクを下げるという保険としての価値はある
という、よりバランスの取れた結論になっている。
この論文の全体像
この論文の構造は、次のようにまとめられる。
まず、70 歳で自己負担率が制度的に下がる。
そこで著者は、この制度的な不連続を利用して、70 歳のところで
などがどのように変化するかを調べている。
その結果、
外来利用は増える
入院も増える
しかし健康改善の証拠は強くない
その一方で、家計の医療費リスクは軽減される
という結論が得られている。
RDD の例としての読み方
この論文を RDD の例として読むときに重要なのは、医療制度の細かな知識よりも、識別の構造をはっきり捉えることである。
ランニング変数は年齢
カットオフは 70 歳
70 歳で価格だけが制度的に不連続に変わる
その不連続を利用して因果効果を識別する
つまり、
本来は滑らかに変化する年齢プロファイルの中に、制度が作った段差がある。
というのが RDD の本質であり、Shigeoka (2014) はその非常にきれいな実例になっている。
この論文は、RDD が単に「図に段差があればよい」という手法ではなく、制度上の不連続を利用して価格弾力性、健康効果、リスク保護を同時に考えることのできる、非常に豊かな実証デザインであることを示している。
RDD を使った代表的研究の例
RDD はかなり広い分野で使われている。ランニング変数が何で、どこにカットオフがあるのか がわかる形で並べる。
1. Abdulkadiroğlu, Angrist, and Pathak (2014)
The Elite Illusion: Achievement Effects at Boston and New York Exam Schools Econometrica
ランニング変数：入学試験のスコア順位
カットオフ：各試験校の合格最低点
識別しているもの：試験校にぎりぎり合格したことの効果
超有名な教育RDDである。
2. Cellini, Ferreira, and Rothstein (2010)
The Value of School Facility Investments: Evidence from a Dynamic Regression Discontinuity Design Quarterly Journal of Economics
ランニング変数：学校債の住民投票での賛成票比率
カットオフ：50%
識別しているもの：学校施設投資の可決による効果
これは close election 型のRDDで、票差がわずかで可決した地区と否決した地区を比較する。
3. Malamud and Pop-Eleches (2011)
Home Computer Use and the Development of Human Capital Quarterly Journal of Economics
ランニング変数：世帯所得
カットオフ：コンピュータ購入バウチャーの所得上限
識別しているもの：家庭用コンピュータ保有の効果
「所得が上限を少し下回ってバウチャーをもらえた家計」と「少し上回ってもらえなかった家計」を比べる設計である。
4. Card, Dobkin, and Maestas (2009)
Does Medicare Save Lives? Quarterly Journal of Economics
ランニング変数：年齢
カットオフ：65歳
識別しているもの：Medicare 受給開始の効果
年齢RDDの代表例で、65歳で Medicare の適用が大きく変わることを利用している。
5. Card, Dobkin, and Maestas (2008)
The Impact of Nearly Universal Insurance Coverage on Health Care Utilization: Evidence from Medicare American Economic Review
ランニング変数：年齢
カットオフ：65歳
識別しているもの：Medicare eligibility が医療利用に与える効果
同じく Medicare の 65歳カットオフを使った論文で、こちらは主に医療利用への効果を見ている。
6. Altmejd et al. (2021)
O Brother, Where Start Thou? Sibling Spillovers on College and Major Choice in Four Countries Quarterly Journal of Economics
ランニング変数：上のきょうだいの大学入試・出願スコア
カットオフ：大学・学部ごとの合格ライン
識別しているもの：上のきょうだいが特定の大学・専攻に進んだことの下のきょうだいへの波及効果
大学入試の合格ラインをまたぐかどうかを使う、きれいな admissions cutoff 型RDDである。
7. Beuermann, Jackson, Navarro-Sola, and Pardo (2023)
What Is a Good School, and Can Parents Tell? Evidence on the Multidimensionality of School Output Review of Economic Studies
ランニング変数：中等学校入学試験（SEA）のスコア
カットオフ：学校ごとの配属カットオフ
識別しているもの：ある学校に配属されることの効果
学校選択制度が作る複数の合格ラインを使った multi-cutoff RD の代表例である。
8. Corbi, Papaioannou, and Surico (2019)
Regional Transfer Multipliers Review of Economic Studies
ランニング変数：自治体人口
カットオフ：政府間移転の算定に使われる人口閾値
識別しているもの：地方への財政移転増加の効果
「人口が閾値を少し上回るか下回るか」で交付金が不連続に変わることを使う、人口閾値RDDの代表例である。
9. Card and Giuliano (2016)
Can Tracking Raise the Test Scores of High-Ability Minority Students? American Economic Review
ランニング変数：生徒の能力・選抜スコア
カットオフ：ギフテッド／高能力クラスへの選抜基準
識別しているもの：高能力クラスに入ることの効果
教育分野で非常によく読まれるRDDで、選抜基準の直上・直下を比べている。
10. Huh, Reif, and Mocan (2021)
Teenage Driving, Mortality, and Risky Behaviors AER: Insights
ランニング変数：年齢
カットオフ：最低運転年齢
識別しているもの：運転可能になることの効果
これはトップ5誌ではないが、AER系のかなりわかりやすい年齢RDDである。
11. Cohodes (2020)
The Long-Run Impacts of Specialized Programming for High-Achieving Students American Economic Journal: Economic Policy
ランニング変数：選抜スコア
カットオフ：高能力向けプログラムの参加基準
識別しているもの：高能力向け特別プログラム参加の長期効果
これもトップ5誌ではないが、教育RDDとしてかなり使いやすい例である。
